Определены следующие тропические алгебры :
ПОЛУПОЛЯ 1) На множестве целых чисел ${\mathbb Z}$ определены:\ $ZMaxPlus$, $ZMinPlus$. 2) На множестве чисел ${\mathbb R}$ определены: $RMaxPlus$, $RMinPlus$, $RMaxMult$, $RMinMult$. 3) На множестве чисел ${\mathbb R}64$ определены: $R64MaxPlus$, $R64MinPlus$, $R64MaxMult$, $R64MinMult$.
ПОЛУКОЛЬЦА 1) На множестве целых чисел ${\mathbb Z}$ определены:\ $ZMaxMin$, $ZMinMax$, $ZMaxMult$, $ZMinMult$. 2) На множестве чисел ${\mathbb R}$ определены: $RMaxMin$, $RMinMax$. 3) На множестве чисел ${\mathbb R}64$ определены: $R64MaxMin$, $R64MinMax$.
Примеры тропических алгебр:
SPACE = ZMaxPlus [x, y, z];
SPACE = R64MinMult [u, v];
SPACE = RMaxMin [u, v].
Пример простой задачи в полукольце $ZMaxMult$.
Помимо сложения и умножения доступна операция замыкания, вызываемая командой $\backslash closure(a)$, где $a$ — элемент или матрица. Замыкание $closure(a)=\mathbb{1}\oplus a\oplus a^{2}\oplus\dots$
В остальных параграфах этой главы приведены примеры задач, которые решаются в тропических алгебрах, являющихся полуполями.
Команда $\backslash solveLAITropic(A,b)$ позволяет найти решение неравенства Ax $\leq$ b.
Команда $\backslash BellmanEquation(A)$ позволяет найти решение однородного уравнения Беллмана $Ax = x$.
Команда $\backslash BellmanEquation(A,b)$ позволяет найти решение неоднородного уравнения Беллмана $Ax\oplus b=x$.
Команда $\backslash BellmanInequality(A)$ позволяет найти решение однородного неравенства Беллмана $Ax\leq x$.
Команда $\backslash BellmanInequality(A, b)$ позволяет найти решение неоднородного неравенства Беллмана $Ax\oplus b\leq x$.
Пусть A - матрица расстояний между смежными вершинами ($x_{ii}$=0 $\forall i$; $x_{ij}=\infty$, если нет ребра, соединяющего вершины i и j). Команда $\backslash searchLeastDistances(A)$ позволяет найти наименьшие расстояния между всеми вершинами графа. В результате будет получена матрица кратчайших расстояний между вершинами.
Пусть A - матрица расстояний между смежными вершинами ($x_{ii}$=0 $\forall i$; $x_{ij}=\infty$, если нет ребра, соединяющего вершины i и j). Команда $\backslash findTheShortestPath(A, i, j)$ позволяет найти кратчайший путь между вершинами i и j.